给每个靠模拟分布做仓位决定的人：四步跑通蒙特卡洛估值

作 者：老余捞鱼

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我用今天要介绍的这个模型，把微软股票的模拟跑完后，屏幕上并排跳出两个一模一样的数字：28.1%。一个是模型说的一年後亏损概率，一个是它报出的年化波动率。

前一个回答“一年后亏钱的可能性有多大”，后一个回答“股价平时有多颠”。我第一次看到这两个 28.1% 时，手在键盘上停了一下。直觉告诉我：坏了，是不是把波动率直接填进亏损概率那一栏了？后来公式推翻了这个直觉。但两个数字重合的那一瞬间，我记住了。

真正管亏损概率的是一条正态分布公式，代进去算出来是 27.59%。所以那两个 28.1% 只是巧合。

这套东西我是真跑完了：数据自己拉，代码自己写，1000条路径、252个交易日，一个环节都没省。

一、这个模型到底在算什么

它一共只有三个零件。第一个是增长率，算法的形状很简单，留存率乘以ROIC。留存率是赚的钱里有多少留下来继续投，ROIC是投进去的每一块钱能赚回多少。两者相乘，大致就是这家公司能长多快。微软的留存率是79.72%，ROIC是25.92%，相乘得20.67%。

第二个零件是波动率，拿最近5年1255个交易日的日对数收益做标准差，年化之后是28.10%。

第三个零件是随机过程。股价走的是几何布朗运动，写出来是 dS/S = g·dt + σ·dW，g是刚才那个增长率，σ是波动率。这公式不直接算最终价格，它做的是把一年切成252个交易日，每天往前挪一小步，挪满252步。

挪这一步用的是Euler-Maruyama方法。它是把连续的随机过程一步步离散化的算法。换个说法，每天掷一次骰子，把掷出来的随机数加到价格上。

为什么不直接用闭式解算终值？因为闭式解只能给你最后那个数，中间怎么走的一概没有。而这中间的一段才最有意思，路上最大回撤多少、半年的时候价格在什么位置，都记在上面。

第四个其实不算零件，是个选择。跑1000条路径，看终值落在哪。

这图上画了60条随机路径，淡色是各自走出来的形状，深色那条是中位路径。同一个起点，能走出的形状差别很大。

把1000条路径的终点叠在一起，就是这张分布图。起点524.51美元，均值645.11美元，中位数落在618.32美元。5%分位389.61美元，95%分位989.97美元。手上放一万美元，一年后组合的中位数是11788.51美元。

二、增长口径差4个点，结论就变了

这里有个我一开始踩的坑。第一次算出g是24.58%，跟那个20.7%差了4个点，以为是哪里取数错了。查了两天才发现是口径问题，不是错误。

ROIC的分母叫投入资本，算的是股东权益加上有息负债。争议在这儿，现金要不要扣。

扣掉现金和短期投资，微软的投入资本是4058.4亿美元，ROIC算出来30.83%，g就是24.58%。不扣的话，投入资本4826.8亿美元，ROIC降到25.92%，g是20.67%。

用的是不扣现金那版，我确认过，20.67%和20.7%能对上。

差异的实际后果就在这张图里。波动率锁死在28.10%不动，光换漂移假设，结果就差很多。

同一个模型，同一只股票，只是漂移换了个算法，亏损概率从27.3%一路跑到67.1%。而这个漂移是整个模型最脆弱的一环，它靠的是某一天财报里的那几个数字。

基本面增长打对折这一档，我一开始觉得是在刁难人，后来发现它最有道理。公司不会永远以20%的速度增长，这个速度撑不了几年。

三、拿真实历史校准一遍

模型再漂亮，也得跟现实对一下。我拿微软过去20年4932个交易日，切出全部4680个重叠的252日窗口。看真实的一年期收益到底长什么样。

亏损概率这栏，模型说27.30%，真实是23.97%，模型偏悲观3.33个点。这个差距我能接受。

95%分位那栏差得远。模型说最好能涨88.74%，真实最好的年份才55.22%。这说明一件事：几何布朗运动对右尾是系统性高估的。它假设涨跌的概率分布左右对称，可真实股票不是这样。牛市那几年能把右尾拉得很长，模拟的随机游走拉不出来。

四、模型漏掉的，是最疼的一段

先看好的一面。模拟里1000条路径的年内最大回撤，中位数是-21.68%。这个数字看着挺温和。可真实情况，微软近10年最深的一次回撤是-37.56%。

中间那根是模拟的中位回撤。右边那根是最差的一条路径，年内回撤-52.08%。左边那根是真实历史，-37.56%。

差了15.9个百分点。这不是精度问题，是方向性问题。这个数我反复核了两遍，怕是回撤窗口取错了。

原因在于几何布朗运动假设每一步都互不影响，涨一步跌一步各算各的。真实市场不是这样，回撤是连着来的，恐慌会连着恐慌。真遇上2008年或者2020年3月那种行情，模型给你的数字根本救不了你。

我还测了另两个容易被忽略的地方。一是换随机种子，用5个不同的种子各跑一遍。5%分位在384.53到392.78美元之间跳，亏损概率在25.70%到28.60%之间跳。报出来的那个28.1%，落在区间的偏上位置。

二是换路径数量，100条时5%分位是373.31美元，20000条是390.67美元，样本少的时候尾部那几个数字就飘。用1000条，这个量勉强够用，但要知道它一直在飘。

五、真正决定股价的，其实是倍数

模型里完全没提估值倍数。我核对数据的时候把整个流程翻了一遍，才确认这不是漏写，是真的没做。这是整个模型最大的缺口。

股价涨幅可以拆成两截，一截是盈利涨多少，另一截是倍数变多少。微软18年的实际数据里，EPS年化涨13.39%，股价年化涨15.59%。剩下的1.94%来自倍数从14.7倍变成20.8倍。

倍数这1.94%的年化，在模型里是零。而它完全可以是负的。我把倍数漂移加进模型再跑一遍，结果如下。

倍数每年压缩5%，亏损概率从27.3%跳到34.5%，比基本面增长打对折的影响还接近。而一个模型算出来的27%概率亏损，前提是市场愿意继续按今天的估值给这家公司定价。这个前提很脆弱，比公司能维持20%增长还脆弱。

六、同一套代码换到A股

美股的数据毕竟隔着一层。我把这套代码搬到A股跑了一遍。标的选了贵州茅台、宁德时代、中国建筑。财务口径用TTM，就是最近12个月的累计数，不是单季。

宁德时代这一行最反直觉。g高达48.05%，是三只里最高的。可亏损概率只有15.90%，全场最低。我盯着这一行看了两遍，确认不是脚本排错了。中国建筑g只有2.64%，亏损概率51.20%，接近一半。

原因在波动率那一列。宁德时代41.15%的波动足以吃掉它的增长优势，中国建筑25.36%的波动率配2.64%的增长，基本没有安全垫。

这就是这个模型最值得带走的一点。增长决定上限，波动率决定你能不能拿到那个上限。

回撤那一栏还是老问题，三只都是模拟比实际温和。宁德时代模拟-27.44%，真实跌过-62.88%，差了一倍多。

七、动手部分的代码

模型本身很短，四十来行。下面是我用的核心部分。

先算增长率。下面这段用扣现金的口径，算出来是24.58%，对应第三节表格的第二行。想复现主口径那20.67%，把 invested_capital 里的 cash_and_sti 去掉就行。

nopat = operating_income * (1 - tax_rate)
invested_capital = equity + debt - cash_and_sti
roic = nopat / invested_capital
retention = 1 - dividends_per_share / eps
g = retention * roic

再算波动率，然后跑路径。

import pandas as pd

window = prices.tail(1255)          # prices 是 pandas Series
daily_log = np.log(window).diff().dropna()
sigma = daily_log.std(ddof=1) * np.sqrt(252)

dt = 1.0 / 252
drift = (g - 0.5 * sigma ** 2) * dt
diffusion = sigma * np.sqrt(dt)
z = np.random.default_rng(42).standard_normal((1000, 252))
paths = price * np.exp(np.cumsum(drift + diffusion * z, axis=1))

算路径上的最大回撤。

running_max = np.maximum.accumulate(paths, axis=1)
drawdown = paths / running_max - 1.0
max_dd = drawdown.min(axis=1)

八、这套方法该怎么用

说说我自己的判断。它适合干一件事，把明年会怎样这种没头没脑的问题，换成一个有形状的分布。看到27%这个数字，你就知道最坏情况大概在400美元附近，最好在990美元附近，中位数在620美元。这个信息比「大概率会涨」有用得多。

它不适合干的是拿它决定仓位。光是回撤被低估16个点这一条，就足以让一个靠它做风控的人在下一次危机里被打穿。

还有一件必须交代的事。模型的漂移来自某一天的财报。微软是2026年6月30日财年数据，股价是10月23日的524.51美元，这中间涨了40%。现在换个日期重跑，起点变了，所有数字都变。基本面是慢变量，股价是快变量。拼在一起的时候，得记得它们不是同一个时间尺度。

说不好这套方法放到别的票上还成不成立。波动率35%的高成长股和波动率20%的低波动股，回撤的分布形状完全不一样。这个模型算不出这个差别。

最后是那个必须做的一致性检查。模拟输出一堆漂亮数字之后，拿20年真实历史算一遍同样的统计量，摆在一起看。差3个点能接受，差16个点就该回头查代码。

建议大家挑一只自己持有的票，用同样的流程跑一遍，再拿它的真实历史校准一次，跑完就能看到模型给的概率和现实差多少。

结尾

模型给的是一个分布，不是一个答案。它告诉你的是概率，不是承诺。我更倾向把它当成一把尺子，不是水晶球。

你的模型里，那27%的亏损概率，是按什么口径算出来的？

觉得有用的话，把这篇转给同样在搞量化的朋友。

参考资料

– SEC EDGAR XBRL companyfacts, Microsoft Corporation (CIK 0000789019)，接口 https://data.sec.gov/api/xbrl/companyfacts/CIK0000789019.json – akshare stock_us_daily，新浪财经美股日线接口 – Lo, S.-Y. (2001), Euler-Maruyama Method, Scholarpedia

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