从期望值到凯利曲线：找到你的最优配置比例

作 者：老余捞鱼

原创不易，转载请标明出处及原作者。

写在前面的话：今天讲一个被99%投资者忽视的数学工具：凯利公式。我将从期望值计算到最优杠杆推导，从凯利曲线五个区域到半凯利策略，从标普500到比特币的实际应用，再到15年历史回测结果。看完你会明白：什么时候你不加杠杆，会让收益白白溜走。

如果你手里有10万块，打算投向两个方向：一个指数基金，一个某只你研究过的个股，你会各放多少？

大多数人会这样回答：”ETF放5万，个股放3万，留点现金。”你问他为什么是这个数，他说不上来。这恰好说明一个问题：绝大部分投资者在做资金配置的时候，靠的是直觉，不是数学。

今天这篇文章，我把一个被忽视70年的数学工具讲清楚，【凯利公式】，它回答了一个直击灵魂的问题：当一笔投资有正的期望收益时，你该放多少资金进去，才能让长期复利增长最快？

认真看完，你对自己资金的使用方式，可能会有完全不同的理解。

一、先搞清楚你到底在赌什么：期望值公式

投资圈有两种人：一种是算期望值（EV）然后赚钱的人，一种是不算期望值然后亏钱的人。

你身边肯定有这种朋友：听说某只meme币”可能涨100倍”，就把钱投了进去。问题在哪？他没算概率。

一只meme币涨100倍的概率可能不到0.1%。把期望值算出来：

EV = (0.001 × 10000%) + (0.999 × -100%) = 10% - 99.9% = -89.9%

也就是说，如果你反复下这种注，长期的结局是平均亏掉将近90%的本金。一笔烂交易，根本不值得碰。

但市场上也有好交易——正期望值的交易。比如标普500 ETF（SPY），根据历史数据，年化期望收益大概是这样的：

EV = (0.75 × 19%) + (0.25 × -11%) ≈ 11%

有了正EV交易摆在面前，问题就变成了：应该加多少杠杆？

如果你的资产有正期望值，不加杠杆就是在让收益白白溜走。但杠杆是一把极其微妙的刀：加多了会毁掉你，加少了会错过本该属于你的增长。

二、凯利公式：决定最优配置比例的数学答案

现代投资组合理论之父哈里·马科维茨说过一句话：”投资中唯一的免费午餐是分散化。”他只说对了一半。还有第二道免费午餐他漏掉了：最优杠杆。

分散化降低风险，但凯利杠杆才是在最大化增长。

凯利公式，1956年由约翰·凯利在贝尔实验室发表，后来被爱德华·索普（那个用数学打败赌场的传奇）应用到二十一点和投资中。它回答了一个99%的投资者从来没问过的问题：“什么样的杠杆能让我的组合长期增长最快？”

2.1 核心公式

最优杠杆 f* = 预期年化收益(μ) ÷ 波动率²(σ²)

翻译成人话：

• 分子μ（预期年化收益）：你每年预期能赚多少。赚得越多，理论杠杆空间越大。SPY年化约10%，空间就大；债券年化约4%，空间就小。
• 分母σ²（波动率平方）：资产价格波动有多剧烈——取平方。波动越猛，安全杠杆越低。SPY波动18%→(0.18)²=0.0324；比特币波动90%→(0.90)²=0.81。

两者的比值，直接给出统计意义上的最优杠杆倍数：

标普500的最优杠杆居然是3.1倍，也就是说按照数学最优，你本该借入2.1倍本金来放大收益。比特币呢？0.99倍，基本等于告诉你”别加杠杆”。

老余提醒：这个公式是用年化数据算的，在实际操作中可以换成3-6个月的每日数据来滚动计算，保持参数动态更新。市场环境变了，最优杠杆也会变。

这里再补充一个由凯利公式衍生出来的

长期复合增长率公式：长期增长率 g = r + S²/2

其中 r 是无风险利率，S 是策略的夏普比率。这意味着：组合的长期增长率不仅取决于无风险利率，更取决于你风险调整后的表现。夏普比率越高，长期复利增长越快。这也是为什么提升夏普比率比盲目追求高收益更重要。

三、凯利曲线上的五个区域：从”太保守”到”自杀”

TradingView上的凯利曲线指标（下文简称Kelly Curve），把抽象的公式变成了可视化图表。这条曲线上有五个区域，每个区域都值得你认真看：

配图：凯利曲线应用于SPY ETF的完整图表，标注五个区域

关键一句话：大多数投资者用1倍杠杆，不是因为它最优，而是因为1是个整数，而且刚好是”默认值”，或者说就是一种惯性。

四、半凯利策略：在理论与现实之间找到真正的平衡

全凯利虽然在数学上最优，但在现实中存在一个致命的问题：今天的市场如果突然崩了，你的全凯利仓位会让你受到远超出心理承受能力的打击。

于是有了一个更实用的改良——半凯利策略（Half Kelly）。

半凯利的核心魅力：只使用全凯利建议杠杆的一半，你能获得约75%的最大增长，但只承受50%的波动。用更少的颠簸换来大部分的收益，这才是”投资老手”的标配。

用前面SPY的数据来算：

• 全凯利最优杠杆：3.1倍
• 半凯利建议杠杆：约1.5倍

这意味着：50%本金 + 借入50%（或使用2倍杠杆ETF的一半仓位）

而实现方式有哪些？原文给出了几个路径：

• 杠杆ETF：最便捷的方式。比如2倍杠杆ETF（如SSO）直接给出约2倍杠杆，再配合现金就能精确控制到1.5倍。
• 保证金账户：传统方式，灵活性高但管理成本高、利率波动大。
• 期货合约：机构常用，对个人而言门槛和复杂度都偏高。

老余观点：杠杆ETF虽然每天再平衡会带来复利损耗，但对于长期投资者来说，它仍然是最容易执行凯利策略的工具。前提是你真的理解波动损耗的机制，也做好了在回撤中坚持的准备。

4.1 半凯利对比全凯利的数学逻辑

这里用一段简化代码来展示半凯利和全凯利在数学上的关系：

# 凯利最优杠杆计算 & 半凯利推导 def kelly_leverage(annual_return, annual_volatility): """ 计算全凯利最优杠杆和半凯利杠杆 """ variance = annual_volatility ** 2 full_kelly = annual_return / variance # 半凯利：使用一半的杠杆 half_kelly = full_kelly / 2 # 半凯利效果：75%增长，50%波动 growth_ratio = 0.75 # 保留约3/4的最大增长 vol_ratio = 0.50 # 仅承受一半的波动 return { 'full_kelly': full_kelly, 'half_kelly': half_kelly, 'growth_retained': f'{growth_ratio:.0%}', 'vol_reduction': f'{vol_ratio:.0%}' } # SPY：年化收益10%，波动率18% result = kelly_leverage(0.10, 0.18) # 输出：full_kelly≈3.09, half_kelly≈1.54

五、不同资产的凯利最优杠杆对比

论文《Alpha Generation and Risk Smoothing using Managed Volatility》中，Cooper分析了很长一段时间内多个指数的历史数据：

结论非常一致：对大盘指数来说，适度使用杠杆能显著提高长期回报。

5.1 各指数凯利最优杠杆一览

配图：Kelly Curve应用于标普500 / 纳指100 / 罗素2000的图表对比

5.2 个股和加密货币：有时候不加杠杆才是答案

凯利公式最美的地方在于：它不是一味告诉你”加杠杆”，而是根据数据告诉你该不该加。

配图：Kelly Curve应用于特斯拉和比特币的图表对比

特别提醒：2025年11月，很多在比特币上只用了”区区”2倍杠杆的人都归零了。凯利公式对比特币给出的结论是0.99倍，基本等于告诉你”别加，加就是自杀”。这就是数学在保护你，你要听。

六、用15年实盘数据说话：杠杆到底带来了什么？

理论讲得再多，不如直接看历史，下面是标普500三种杠杆倍数的15年数据：

配图：SPY vs SSO vs UPRO 15年走势对比图

数字很直观。788%对7208%，差距接近10倍。杠杆确实放大了波动，但它同时也放大了收益：而这些超额收益的价值，远超过了多承受的那部分波动。

这里需要延伸讲解一个重要的机制：杠杆ETF的复利效应。杠杆ETF是按每日目标倍数再平衡的，这意味着它在上涨趋势中会产生正向复利效应。连续上涨时，3倍ETF的实际收益可能超过指数涨幅的3倍。但在震荡市中，反向的波动损耗也会出现。这就是为什么杠杆ETF更适合长期趋势明确的资产，而不是剧烈震荡的环境。

但老余必须在这里说一句非常严肃的话：

• 回撤在心理上是残酷的。2倍杠杆意味着回调也是2倍，20%的回撤变成40%，你扛得住吗？
• 路径依赖是个大问题。如果你恰好在市场顶部开始使用杠杆，第二天市场崩盘，你的起点会很艰难。
• 黑天鹅无法预测。没人知道下一个2008年或2020年什么时候来。

杠杆ETF配合定期定额（DCA）是一个更稳健的组合。分批进入，平滑路径依赖带来的风险，让时间成为你的朋友而非敌人。

七、实操中必须理解的三个关键概念

7.1 波动损耗（Volatility Decay）

杠杆ETF每天再平衡。假设指数某天涨1%，3倍杠杆ETF涨3%。第二天指数跌回原点（跌约0.99%），3倍ETF跌约2.97%。两天后，指数回到起点，但3倍ETF的净值已经低于起点了。这就是波动损耗：震荡市中反复出现的再平衡会让杠杆ETF的实际回报低于”指数涨幅×杠杆倍数”。

但好消息是：在长期趋势向上的市场中，正向复利效应往往会超过波动损耗。上面SPY的15年数据已经证明了这一点。

7.2 滚动重算你的凯利参数

凯利公式不是算一次就一劳永逸的。市场条件一直在变，你的参数也要跟着变。经验法则是：

• 用最近3到6个月的每日收益率滚动计算均值和标准差。
• 每天更新一次凯利配置（实际中很难做到，但至少每周审视一次）。
• 当波动率显著上升时，凯利杠杆会自动下降——这是在保护你。

7.3 凯利公式与VaR的结合

凯利公式告诉你配置多少，而VaR（风险价值）告诉你最坏情况可能亏多少。两者结合才是一套完整的风险管理框架。

简单说：

VaR = 组合标准差 × 置信度对应的Z分数

在95%的置信水平下，Z分数约为1.65。如果你的组合标准差是18%，日VaR约等于18%×1.65≈29.7%。意思是：在正常市场条件下，你有95%的把握，一天最多亏掉组合价值的29.7%。这个数字配合凯利杠杆一起看，才能让你对自己承担的风险有一个完整的认知。

文章总结

凯利公式是确定最优配置比例的核心工具，本质上就是在正期望值前提下平衡收益与波动，找出长期复利增长最快的那个点。标普500理论最优约3倍，但实践中半凯利（约1.5倍）才是更适合大多数人的选择——获得75%的最大增长，只承担50%的波动。15年历史数据清晰验证了这一逻辑。关键不在追求精确数值，而在于理解：正期望值资产加适度杠杆的复利威力，远超大多数人的直觉认知。

• 正期望值是前提：EV为正才有资格谈杠杆，EV为负的资产1分钱都不该投。
• 凯利公式f* = μ/σ²，最大化了长期复利增长而非短期收益。
• 实践中推荐半凯利：保留75%的增长潜力，波动砍掉一半。
• 15年回测：SPY(1倍)788%→SSO(2倍)2976%→UPRO(3倍)7208%。
• 杠杆最大的敌人不是市场波动，是你在回撤时能否坚持——做好心理准备比算准参数更重要。

风险提示：本文仅供参考，不构成投资建议。投资有风险，入市需谨慎。

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